微积分 3(多变量微积分),第 1 部分,共 2 部分
朝向并穿过向量场,第 1 部分,共 2 部分
讲师:Hania Uscka-Wehlou
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你会学到什么
- 如何解决多变量微积分中的问题(以 200 多个已解决的问题为例)以及这些方法为何有效。
- 参数化一些曲线(直线、圆、椭圆、一变量函数图、两个曲面的交点)。
- 描述位置、速度、速度和加速度;计算参数曲线的弧长;弧长参数化。
- 多个变量函数的极限、连续性和可微性。理论、几何直觉和大量问题解决。
- 链式法则的几种变体,涉及不同种类的函数。您还将学习如何应用链式法则的这些变体来解决问题。
- 隐函数定理的几种变体,具有各种几何解释;解决问题。
- 在开放域和紧凑域(边界上的拉格朗日乘数等)上优化多个变量的函数。
要求
- 微积分 1 和 2
- 一些线性代数
描述
微积分 3(多变量微积分),第 1 部分,共 2 部分
朝向并穿过向量场,第 1 部分,共 2 部分
(Robert A. Adams,Christopher Essex 的章节编号:微积分,完整课程。第 8 或第 9 版。)
C0:课程简介;预备知识(第 10 章:非常简短;大部分章节属于先决条件)
S1。关于课程
S2。R^n 中的解析几何(n = 2 和 n = 3):点、位置向量、直线和平面、点之间的距离(第 10.1 章)
S3。圆锥曲线(圆、椭圆、抛物线、双曲线)
S4。二次曲面(球体、圆柱体、圆锥体、椭圆体、抛物面等)(第 10.5 章)
S5。R^n 中的拓扑:距离、开球、邻域、开闭集、内点和外点、边界点(第 10.1 章)
S6. 坐标:笛卡尔坐标、极坐标、柱坐标、球坐标(第 10.6 章)
您将学习: 了解哪些几何对象由更简单的方程和 R^2 和 R^3 中的不等式表示,确定集合是开集还是闭集,如果点是内部点、外部点或边界点,则确定边界点,描述不同坐标系中的点和其他几何对象。
C1:向量值函数、参数曲线(第 11 章:11.1、11.3)
S7. 向量值函数简介
S8. 参数化的一些例子
S9. 向量值微积分;曲线:连续、可微且平滑
S10. 弧长
S11。弧长参数化
您将学习: 参数化一些曲线(直线、圆、椭圆、单变量函数图);
如果 r(t) = (x(t), y(t), z(t)) 是描述粒子在 R^3 中相对于时间 t 的位置的函数,则描述位置、速度、速度和加速度;计算参数曲线的弧长,弧长参数化。
C2:几个变量的函数;可微性(第 12 章)
S12. 多变量、定义域、范围、图形曲面、水平曲线、水平曲面中的实值函数
您将学习:描述函数的定义域和范围,用曲面图或水平曲线说明函数 f(x,y) .
S13. 极限,连续性
您将学习:计算极限值,确定函数是否具有极限值或在某一点连续,使用通用的求和、乘积、……极限规则。
S14. 偏导数、切平面、法线、梯度、雅可比
您将学习:计算一阶偏导数、计算标量积(两个公式)和叉积、给出法线和切平面的公式;理解从 R^n 到 R^m、梯度和雅可比矩阵的函数。
S15. 高阶偏导数
您将学习:计算高阶偏导数,使用 Schwarz 定理。求解并验证一些简单的 PDE。
S16. 链式法则:不同版本
您将学习:使用依赖图和矩阵乘法计算链式法则。
S17. 线性逼近、线性化、可微性、微分
您将学习:确定一个函数在一个点上是否可微、实值函数的线性化、使用线性化导出函数的近似值、使用可微性测试(连续偏导数) ), 以及可微函数的性质。
S18. 梯度、方向导数
您将学习:计算梯度,找到特定方向的方向导数,梯度的性质,理解方向导数的几何解释,给出水平曲线的切线和法线的公式。
S19. 隐函数
您将学习:计算雅可比行列式,推导隐函数的因变量和自由变量的偏导数。
S20。泰勒公式,泰勒多项式
您将学习:推导泰勒多项式和泰勒公式。理解二次形式并学习如何确定它们是正定的、负定的还是不定的。
C3:多变量函数优化(第13章:13.1-3)
S21. 开放域优化(关键点)
S22. 紧凑域的优化
S23. 拉格朗日乘数(带约束的优化)
您将学习:对临界点进行分类:局部最大值和最小值、鞍点;找到给定函数和区域的最大值和最小值;在一个或多个条件下使用拉格朗日乘数。
确保与您的教授核实您的期中考试需要课程的哪些部分。这些事情因国家而异,因大学而异,甚至同一所大学每年都不同。
资源文件“001 Outline_Calculus3.pdf”中视频 1(“课程简介”)。此内容也显示在视频 1 中。
本课程适合谁:
- 大学和学院工程