线性代数与几何 3
内积空间、二次型和更高级的问题解决
讲师：Hania Uscka-Wehlou
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你会学到什么
- 如何解决线性代数和几何问题（以 144 道已解决的问题为例）以及这些方法为何有效。
- 解决比第二门课程更高级的特征分解和正交性问题。
- 使用矩阵的对角化来解决来自不同数学分支（ODE、动力系统）的各种问题。
- 与R^n不同的内积空间：连续函数空间、多项式空间、矩阵空间。
- 在非几何设置中使用长度（范数）、距离、角度和正交性等几何概念。
- 勾股定理、Cauchy-Schwarz 不等式和各种内积空间中的三角不等式。
- 正交和正交基，以及各种内积空间中的 Gram-Schmidt 过程。
- 使用 Cauchy-Schwarz 不等式、最佳逼近定理、最小二乘解的最小-最大问题。
- 对称矩阵及其性质；正交对角化：它是如何完成的以及如何从几何上理解它。
- 正/负定矩阵，不定矩阵；确定矩阵确定性的各种方法。
- 二次形式及其与对称矩阵的联系：这种对应关系的唯一性及其后果。
- 二元和三元二次型的几何：圆锥截面和二次曲面。
- 抽象代数中的一些概念：群、环、域和同构；理解同构向量空间的概念。
- 课程的高潮和所有其他主题的自然结果：奇异值分解和伪逆。
- 注意：本课程中讨论的所有向量空间都是 R 上的空间（不是复数域上的空间），我们所有的矩阵都只有实数项。
要求
- 高中和大学数学（主要是算术，一些三角函数，多项式）
- 线性代数和几何 1（方程组、矩阵和行列式、向量及其乘积、线和平面的解析几何）
- 线性代数和几何 2（向量空间、线性变换、正交性、特征值和特征向量、对角化）
- 一些基本的微积分
- 复数基础知识（本课程包含对复数的简短介绍）
描述
线性代数与几何 3
内积空间、二次型和更高级的问题解决
第一章：特征分解，谱分解
S1。课程简介
S2。平面和 3 维空间中的几何算子
您将学习：使用对称、投影和旋转等几何算子的特征值和特征向量来得到它们的标准矩阵；您还将加强对几何变换的理解。
S3。更多问题解决；与 R^n 不同的空间
您将学习：在各种向量空间上使用线性算子的矩阵特征分解。
S4。间奏曲：同构向量空间
您将学习：不同空间之间的某些相似性以及如何衡量它们。
S5。递归关系、动力系统、马尔可夫矩阵
您将学习：更多令人兴奋的特征值和对角化应用。
S6. 求解线性 ODE 的系统，并求解高阶 ODE
您将学习：借助对角化求解线性 ODE 和高阶线性 ODE 的系统。
第二章：内积空间
S7. 内积作为点积的推广
您将了解： 与点积具有相似属性的其他乘积，以及它们在不同向量空间中的外观。
S8. 内积空间中的范数、距离、角度和正交性
您将学习：如何在非几何设置中定义几何概念。
S9. 各种内积空间中的投影和 Gram-Schmidt 过程
您将学习： 在不同于 R^n 的内积空间中应用 Gram-Schmidt 过程（已在第 2 部分中介绍）；使用子空间的投影。
S10. 最小-最大问题、最佳近似和最小二乘法
您将学习：借助 Cauchy-Schwarz 不等式解决一些简单的最小-最大问题，找到 IP 空间中子空间的最短距离，处理不一致的线性方程组。
第 3 章：对称矩阵和二次型
S11。对称矩阵的对角化
您将学习：对称矩阵的各种优良性质，以及正交对角化。
S12. 二次型及其分类
您将学习：如何描述（几何）和识别（从方程式）二次曲线和曲面。
S13. 约束优化
您将学习：如何确定 R^n 中（广义）单位球面上二次型的范围。
第 4 章：总决赛
S14. 奇异值分解
您将学习： 关于奇异值分解：它是如何工作的以及为什么会工作；关于伪逆。
S15. 总结线性代数和几何
请务必与您的教授核实您的期末考试需要课程的哪些部分。这些事情因国家而异，因大学而异，甚至同一所大学每年都不同。
资源文件中提供了课程内容的详细描述，包括所有 200 个视频及其标题，以及本课程中解决的所有 144 个问题的文本
“001 List_of_all_Videos_and_Problems_Linear_Algebra_and_Geometry_3.pdf”
在视频 1（“课程简介”）下。此内容也显示在视频 1 中。
本课程适合谁：
- 大学和学院工程
