初等数学 4：指数和对数
从高中到大学的数学
讲师：Hania Uscka-Wehlou
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你会学到什么
- 如何解决有关指数或对数的问题（以 239 个已解决的问题为例）以及这些方法为何有效。
- 指数函数和对数函数在金融、工程和自然科学中的应用（其中一些在我的视频中，一些作为阅读材料）。
- 二项式定理有两个证明（组合证明和归纳证明）、帕斯卡三角以及如何应用它们。
- 欧拉数 e 的定义，如何近似它，以及如何证明这个数是无理数。
- 具有各种类型指数（自然、整数、有理、实数）的幂的定义和计算规则。
- 与指数相关的对数的定义，以及计算规则（这些将与幂规则相关）。
- 指数函数、它们的属性和图形。
- 对数函数、它们的属性和图形。
- 幂函数、它们的属性和图形；幂函数和指数函数之间的相互作用。
- 指数函数和对数函数以及某些幂函数的图形变换。
- 求解指数方程和不等式。
- 求解对数方程和不等式。
要求
- 高中数学，主要是算术；求解具有一个未知数的简单方程（线性和二次）；一些（但很少）多项式方程会在课程中解决，但如果你想跳过它们（完全没有问题；它不会影响你对课程主要科目的理解）
- Precalculus 1：基本概念（主要是函数的概念及相关概念；集合；逻辑）
- 随时欢迎您提出问题。如果讲座中的内容不清楚，请询问。最好用QA，这样其他同学都能看到我对不明白的题目的补充说明。请记住：您永远不会孤军奋战，在论坛上提问对每个人都有好处。
描述
初等数学 4：指数和对数
从高中到大学的数学
S1。课程简介
您将学习：您将获得对指数函数和对数函数的非常笼统的介绍：它们的外观和描述；您将了解它们在某些方面的简单性，以及一些您不一定要考虑的非常复杂的问题（但您应该对它们有一个大概的了解）；指数函数和对数函数是（仅次于多项式、有理函数、幂函数、三角函数和反三角函数，您在微积分系列之前的课程中学习过）初等函数的示例：这些函数是我们所有函数的构建块将在即将推出的微积分系列中使用。
S2.71828… 高贵的数字e、二项式定理和帕斯卡三角您将以直观的方式（通过图像）和更正式的方式
学习： 关于数字e 。为了能够进行一些形式化的证明，您将需要二项式定理：该定理告诉您如何将两项之和提高到任何自然正幂；您将学习阶乘、二项式系数和帕斯卡三角（所有这些都将在离散数学课程中回归，然后您将获得更多的实践和组合问题来解决；现在我们只需要二项式定理作为工具用于处理e )。
S3。具有各种指数的幂
您将学习： 关于具有自然指数、整数指数和有理指数的幂以及它们的计算规则（乘法规则、商规则、幂规则）；你还会得到一个更严肃的东西的解释：我们如何确定数字的n次根的存在。我们将逐渐对绘制指数函数的主题有越来越多的了解。您还将进行大量练习，以适应各种指数的幂主题以及与幂相关的计算。
S4。幂函数、它们的属性和图形
您将学习：关于幂函数及其属性：正参数的单调性、负参数的单调性，以及曲线 y=x^⍺ 和 y=x^β 的相互关系对于各种 ⍺ 和 β 对（幂函数和指数函数之间有一些很酷的相互作用）；您还将瞥见导数的世界，说明 y=x^⍺ 对于任何非零实数 ⍺ 和正参数x的单调性问题，并解释某些图形中的尖点和舍入。
S5。指数函数、它们的属性和图形
您将学习： 关于指数函数 f(x)=a^x with a>1 和 f(x)=a^x with 0<a<1，以及它们的各种属性；现在您知道如何绘制这些函数，现在您将执行著名图形的转换以绘制新函数：g(x)=f(x)+c, g(x)=f(x+c) , g(x)=cf(x)等；你会得到一个很长的解决问题的过程，其中将使用指数函数的各种属性；我们还将说明指数函数和幂函数之间的一些有趣的相互作用。
S6. 严格单调函数的重要性质
您将学习：关于严格单调函数的重要性质，这将有助于我们理解指数函数、作为指数函数的反函数的对数函数，以及求解指数和对数方程。
S7. 作为指数函数的反函数的对数函数
您将学习： 不同底数的对数的定义和性质；对数函数的性质，它们的图形，以及由基本对数函数图形变换得到的一些相关函数的图形。
S8. 指数方程和不等式
您将学习： 如何求解指数方程和不等式，从一些简单的开始，以一些更复杂的例子结束；通过求解指数方程确定反函数。
S9. 对数方程和不等式
您将学习： 如何求解对数方程和不等式，从一些简单的开始，到一些更复杂的例子结束；通过求解对数方程确定反函数。
S10. 指数函数和对数函数的应用
您将学习：百分比的变化，以及增长和衰减的变化因子；复利以及年金与几何级数的关系；指数函数和对数函数的一些应用，例如用于分析增长或衰减；对数刻度。这部分与前面的部分不同，因为您将主要阅读 Precalculus 书中的主题（语言密集型）；我会在视频中介绍每个主题，如果您需要我的帮助，欢迎您在QA上提问（在相应的视频下，以便所有其他同学都能在正确的地方找到它们）。
S11。一些更高级的主题
您将学习：一些与课程主题相关的更高级主题，例如微积分中的一些示例（双曲函数；如何在导数的帮助下证明指数函数的图形看起来像它们的样子；f 的泰勒多项式(x)=e^x；一些使用 ODE 模拟增长或衰减情况的示例）；您还将看到一些更高级的问题，这些问题与前面部分中的任何类别都不匹配（例如混合方程和不等式，即激进、指数和对数方程的混合）。
S12. 额外内容
您将了解：关于我们提供的所有课程，以及在哪里可以找到折扣券。您还将了解我们未来课程的计划，以及大致的（非常假设的！）发布日期。
请务必与您的教授核实您的期末考试需要课程的哪些部分。这些事情因国家而异，因大学而异，甚至同一所大学每年都不同。
资源文件中提供了课程内容的详细描述，包括所有 222 个视频及其标题，以及本课程中解决的所有 239 个问题的文本
“001 List_of_all_Videos_and_Problems_Precalculus_4.pdf”
在视频 1（“课程简介”）下。此内容也显示在视频 1 中。
本课程适合谁：
- 计划学习代数、微积分或实分析的学生
- 对大学数学充满好奇的高中生；该课程供成人为这些学生购买
- 每个想要复习高中数学并对这门学科有更深入了解的人
- 学习高级课程的大学生，他们想要了解他们在早期教育中可能错过的所有细节（关于指数和对数）
- 想要学习指数和对数的学生，例如他们的大学代数课。
