微积分 1，第 2 部分（共 2 部分）：导数及其应用
单变量微分：优化、近似和绘图函数的理论和应用
讲师：Hania Uscka-Wehlou
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你将学到什么
- 如何解决有关 1 个变量的实值函数导数的问题（用 330 个已解决的问题进行说明）以及这些方法为何有效。
- 一个实变量的实值函数导数的定义，带有几何解释和许多插图。
- 将切线方程写成函数图。
- 推导基本初等函数导数的公式。
- 证明、应用并说明计算导数的公式：求和规则、乘积规则、缩放规则、商和倒数规则。
- 证明并应用链式法则；认识应应用该规则的情况并绘制有助于计算的图表。
- 使用链式法则解决相关速率的问题。
- 使用导数来解决优化问题。
- 理解导数符号与函数单调性之间的联系；应用一阶导数和二阶导数检验。
- 了解二阶导数与图形局部形状（凸性、凹性、拐点）之间的联系。
- 确定可微函数的平稳（临界）点并对其进行分类。
- 使用导数帮助绘制一个实变量的实值函数。
- 微积分的主要定理：费马定理、中值定理（拉格朗日、柯西）、罗尔定理、达布性质。
- 制定、证明、举例说明、应用和解释微积分主要定理中假设的重要性。
- 制定并证明 l’Hospital 规则；将其应用于计算不定形式的极限；使规则适应各种情况的代数技巧。
- 高阶导数；泰勒/麦克劳林多项式及其近似值和极限应用简介（更多内容请参见微积分 2）。
- 函数类：C^0、C^1、…、C^∞；这些类之间的联系及其成员的示例。
- 隐式微分，一些插图显示隐式曲线的水平和垂直切线。
- 对数微分：何时以及如何使用它。
- 预览衍生品的一些未来应用。
要求
- 初级微积分（基本概念、多项式和有理函数、三角学、指数和对数）
- 微积分 1：极限和连续性（或等效项）
- 随时欢迎您提出问题。如果讲座中有不清楚的地方，请追问。最好使用QA，这样所有其他学生都可以看到我对不清楚的主题的补充解释。请记住：您永远不会孤单地有疑问，如果您在论坛上提出问题，这对每个人都有好处。
描述
微积分 1，第 2 部分（共 2 部分）：导数及其应用
单变量微积分
S1。课程简介
您将了解：本课程的内容以及微积分的重要性。本节的目的不是教您所有细节（这将在课程后面介绍），而是向您展示全局。
S2。导数的定义，带有一些示例和插图
您将学习：导数和可微性的正式定义；术语和符号；一点处导数的几何解释；切线及其方程；如何直接根据定义计算一些导数，并查看它给出的结果以及坐标系中函数的图形；连续性与可微性；高阶导数；微分及其几何解释；线性化。
S3。推导初等函数的导数
您将学习：如何推导基本初等函数的导数公式：常数函数、一元单项式、根、三角函数和反三角函数、指数函数、对数函数和一些幂函数（下一节将介绍更多内容） ; 如何证明和应用导数的求和规则、缩放规则、乘积规则和商规则，以及如何使用这些规则来区分由基本函数组成的大量新基本函数；借助初等函数定义的连续分段函数的可微性。
S4。链式法则和相关比率
您将学习： 如何使用链式法则计算复合函数的导数；一些插图和链式法则的证明；幂函数更一般变体的导数公式的推导，以及基数不同于e 的指数函数的导数公式的推导；如何解决有关相关速率的某些类型的问题（可以借助链式法则解决的问题）。
S5。反函数的导数
您将学习： 反函数到在区间上定义的可微可逆函数的导数公式（背后有非常好的几何/三角直觉）；我们将重新审视本课程前面导出的一些公式，并将展示如何在新定理的帮助下激发它们，但您还将看到该定理的一些其他应用示例。
S6。中值定理和其他重要定理
您将学习：对进一步应用发挥重要作用的各种定理：中值定理（拉格朗日、柯西）、达布性质、罗尔定理、费马定理；您将学习它们的公式、证明、直观/几何解释、应用示例、各种假设的重要性；您将学习一些新术语，例如 CP（临界点，又名驻点）和奇异点；局部/相对最大/最小值和全局/绝对最大/最小值的定义将从初级微积分1中重复，以便我们可以在微积分的背景下使用它们（它们将在第7、17节中以更实用的方式讨论，和 18)。
S7。应用：单调性和优化
您将学习：如何将上一节的结果应用到更实际的环境中，例如检查可微函数的单调性和优化（主要是连续）函数；可微函数 CP（临界点）分类的一阶导数检验和二阶导数检验。
S8。凸性和二阶导数
您将学习： 如何借助二阶导数确定函数在区间上是凹函数还是凸函数；拐点以及它们在函数图上的样子；凸性的概念是一个通用概念，但这里我们只将其应用于二次可微函数。
S9。医院法则及其应用
您将学习：使用 l’Hôpital 规则计算不定形式的极限；您可以在本节第一个视频所附的一篇文章中获得非常详细的证明。
S10。高阶导数和泰勒公式简介
您将学习： 关于单个实变量的实值函数类：C^0、C^1、…、C^∞ 以及这些类的一些重要成员；泰勒/麦克劳林多项式及其形状对于指数函数、正弦和余弦的重要性；您只能了解这些主题，因为它们通常是微积分 2 的一部分。
S11。隐分化
您将学习： 如何通过组合各种微分规则从隐式关系 F(x,y)=0 中求导数 y'(x)；你会得到一些由隐式关系描述的曲线的例子，但它们的研究不包括在本课程中（它通常在“代数几何”，“微分几何”或“几何与拓扑”中研究；该主题也部分涵盖在“微积分 3（多变量微积分），第 1 部分（共 2 部分）”：隐函数定理）。
S12。对数微分
您将学习：如何执行对数微分以及在什么类型的情况下可以实际应用。
S13。关于偏导数的简单介绍
您将学习：如何计算多变量函数的偏导数（仅介绍）。
S14。关于反衍生品的非常简短的介绍
您将了解：积分的奇妙应用以及主要的积分技术。
S15。ODE 主题的非常简短的介绍
您将学习：有关常微分方程的一些非常基本的知识。
S16。更先进的概念建立在衍生概念之上
您将学习：基于导数概念的一些更高级的概念：偏导数、梯度、雅可比矩阵、粗麻布矩阵、向量值函数的导数、散度、旋转（旋度）。
S17。问题解决：优化
您将学习：如何解决优化问题（练习第 7 节）。
S18。解决问题：绘制函数
您将学习： 如何制作函数及其导数的（符号）变体表；您将获得大量绘制函数的练习（该主题在“微积分 1，第 1 部分（共 2 部分：极限和连续性）”中部分介绍，并在本课程的第 6-8 节中完成）。
S19。附加功能
您将了解： 我们提供的所有课程。您还将了解我们未来课程的计划，以及大致（非常假设！）的发布日期。
请务必与教授核实期末考试需要课程的哪些部分。不同国家、不同大学的情况各不相同，甚至同一所大学每年的情况也会有所不同。
资源文件中提供了课程内容的详细描述，包括所有 245 个视频及其标题，以及本课程解决的所有 330 个问题的文本
“001 List_of_all_Videos_and_Problems_Calculus_1_p2.pdf”
视频 1（“课程简介”）下。此内容也在视频 1 中介绍。
本课程适合谁：
- 想要学习单变量微积分（或实分析）的大学生
- 对大学数学充满好奇的高中生；该课程供成人为这些学生购买
