多元微积分和经典物理问题
多变量微积分的直觉以及如何用它来解决经典物理问题
讲师：Emanuele Pesaresi
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你将学到什么
- 如何利用数学直观地理解多元微积分
- 散度定理（如何证明）
- 斯托克斯定理（如何证明）
- 多重积分
- 线积分
- 表面积分
- 雅可比行列式
- 如何解决经典力学中的研究生水平问题
- 刚体运动学
- 如何处理非惯性参考系
- 如何计算刚体的角速度
- 如何计算小振荡的频率
- 如何分析刚体动力学
- 如何计算惯性矩阵和惯性矩
- 如何构造经典力学中的拉格朗日量
- 拉格朗日形式主义的重要性
- 如何导出系统的哈密顿量（能量）
要求
- 单变量微积分
描述
在本课程的第一部分中，通过重点理解关键概念来解释多变量微积分，而不是死记硬背地学习公式和/或练习。使用数学进行推理的过程是本课程的主要目标，而不仅仅是能够进行计算。此外，还会给出有趣的证明，例如高斯定理和斯托克斯定理的证明。
先验知识要求是单变量微积分（即使没有很好地掌握它）。
我将列出一些我们将在下面看到的最重要的概念。
- 偏微分。偏导数将导数的概念推广到更高维度。多变量函数的偏导数是在所有其他变量保持不变的情况下对一个变量的导数。偏导数可以以有趣的方式组合以创建更复杂的导数表达式。例如，在向量微积分（我们将看到）中，“del”运算符用于根据偏导数定义梯度、散度和旋度的概念。偏导数矩阵（雅可比矩阵）可用于表示任意维度的两个空间之间的函数的导数。包含偏导数的微分方程称为偏微分方程或 PDE。这些方程通常比常微分方程更难求解，常微分方程仅包含一个变量的导数（本课程不讨论偏微分方程）。
- 多重整合。多重积分将积分的概念扩展到任意数量变量的函数。二重积分和三重积分可用于计算平面和空间中区域的面积和体积。
曲面积分和线积分用于对曲面和曲线等弯曲流形进行积分。我们将会看到这些概念。
我可以回答问题，我可以通过（可能）向课程上传新内容（即包含解决方案的视频）来回答这些问题。
本课程的第二部分是关于解决高级力学问题；由于多元微积分是第二部分的主要内容，因此我决定将物理问题部分和多元微积分部分合并为一门课程，因此您可以在其中找到大量材料。这组问题取自兰道和利夫希茨的理论物理课程第一卷。我从本书中挑选了一些问题，并在课程中提供了彻底的逐步解决方案；书中也给出了这些问题的解决方案，但它们通常非常简洁，即没有提供太多细节。因此，我们在课程中要做的就是首先构建处理问题所需的理论，然后再解决问题。在解决问题本身的同时也讨论了一些理论。本课程中的每个公式都是有动机/推导的。
我们将从作用原理开始，其主要成分是拉格朗日，它是处理所有物理学分支的高级问题的基础，即使我们在这种情况下将自己限制在力学上。我们将解决与如何构造（可能是复杂的）系统的拉格朗日量有关的几个问题，我们还将从代表系统能量的拉格朗日量导出哈密顿量，并就此做一些问题。
我们还将研究刚体的运动学，并推导出属于刚体的点的速度公式以及加速度公式。加速度不仅对于运动学很重要，对于刚体动力学也很重要。
关于刚体的运动，我们将讨论获得拉格朗日量所必需的动能，并解决与如何求运动中的物体的动能有关的几个三维问题。
动能的表达取决于角速度（这是我们将在运动学中导出的概念），并且还取决于我们将导出的惯性矩阵（或惯性张量）。因此，这些公式将以非常通用的形式编写，这在解决困难问题时很有用，因为了解通用方法将提供解决这些问题的手段。
惯性张量会出现在动能表达式中，也会出现在动力学中的力矩公式中；我们会看到它为什么会出现，并用理论来解决问题。
我们还将讨论非惯性系，并找出由于地球自转而导致的自由落体物体相对于垂直方向的偏转（这使得地球成为非惯性系）。
本课程适合谁：
- 对数学推理感兴趣并导出多元微积分最重要概念的学生
- 想要学习最通用的形式主义来解决经典力学中的高级问题的学生
