微积分 1，第 1 部分（共 2 部分）：极限和连续性
具有实分析元素的单变量微积分：从公理和证明到插图和计算
讲师：Hania Uscka-Wehlou
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你将学到什么
- 如何解决有关 1 个变量的实值函数的极限和连续性的问题（用 491 个已解决的问题进行说明）以及这些方法为何有效。
- 实数集作为具有完备性公理的有序域的结构和属性，以及该定义的结果。
- 扩展实数的算术，以及各种类型的不定形式。
- 至上，下确，以及用这些术语重新表述完备性公理。
- 数列及其收敛或发散；序列极限的 epsilon 定义，附有插图和例子；积累积分。
- 从旧极限中获得新极限：两个序列的和、差、乘积、商等的极限，配有插图、形式证明和示例。
- 序列的挤压定理
- 函数的挤压定理
- 一点中一个实变量的实值函数的有限极限的概念：柯西的定义、海涅的定义；证明它们的等价性。
- 无穷大极限和函数的无限极限：此类极限的柯西定义（epsilon-delta）和海涅定义（序贯）；他们的等价性。
- 两个函数的和、差、积、商的极限；两个函数的复合极限。
- 连续函数的性质：有界定理、最大最小定理、中间值定理。
- 初等函数的极限和连续性（多项式、有理函数 f.、三角函数和反三角函数 f.、指数函数、对数函数 f.）。
- 一些零标准极限：sin(x)/x、tan(x)/x、(e^x-1)/x、ln(x+1)/x 以及它们在微积分中未来应用的一瞥。
- 无穷大的一些标准限制：多项式增长（更一般地说：用 f 次方描述的增长）、指数增长和对数增长的比较。
- 连续延伸和可移除的间断；域中一个、多个甚至无限多个点上的不连续函数的示例。
- 开始考虑绘制函数：域、范围、域外累积点周围的行为、渐近线（垂直、水平、倾斜）。
- 更高级主题的介绍：柯西序列及其收敛性；关于完整空间的一句话；度量空间中的极限和连续性。
要求
- “初级微积分 1：基本概念”（或同等内容）：数学符号、逻辑、集合、证明
- “初级微积分 2：多项式和有理函数”（或同等课程）
- 《初级微积分 3：三角学》（或同等课程）
- “初级微积分 4：指数和对数”（或同等课程）
- 随时欢迎您提出问题。如果讲座中有不清楚的地方，请追问。最好使用QA，这样所有其他学生都可以看到我对不清楚的主题的补充解释。请记住：您永远不会孤单地有疑问，如果您在论坛上提出问题，这对每个人都有好处。
描述
微积分 1，第 1 部分（共 2 部分）：极限和连续性
单变量微积分
S1。课程简介
您将学习：本课程的内容，以及微积分及其主题的一般知识。
S2。预备知识：基本概念和初等函数
您将学到：您将简要回顾一下您应该掌握的微积分基础知识，以便能够学习微积分，但我保证您也会得到一些安慰和鼓励的话。
S3。关于公式推广的一些思考
您将学习：如何在有或没有数学归纳法的帮助下推广一些公式。
S4。实数集的性质
您将了解：作为具有完备性公理的有序域的实数集的结构和属性，以及该定义的结果。
S5。序列及其限制
您将学习： 数字序列的概念，以及许多示例和插图；子序列、单调序列、有界序列；数字序列的极限（正确和不正确）的定义，带有许多示例和说明；序列的算术运算和序列的极限定律；序列的累积点；算术运算连续性的概念，以及数列极限定律如何在以后的微积分中用于计算函数极限和证明初等函数的连续性；序列的挤压定理；关于单调和有界序列收敛的维尔斯特拉斯定理；扩展实数及其算术；确定和不确定形式及其重要性；关于比较无穷大的一些初步见解（无穷大的标准极限）；关于度量空间中序列的极限的一句话；柯西序列（基本序列）以及使用所有具有有理元素的柯西序列集合上的等价关系构造实数集合的草图。
S6。函数在一点上的极限
您将学习：一点中一个实变量的实值函数的有限极限的概念：柯西的定义、海涅的定义（又名顺序条件）以及它们的等价性；函数域的累积点（极限点、聚类点）；片面限制；函数在点上连续性和集合上连续性的概念；初等函数的极限和连续性，作为您在微积分课程中遇到的所有其他函数的构建块；计算规则：两个函数的和、差、乘积、商的极限；两个函数的组合的极限；反函数的极限；挤压定理；零的标准限制和处理 0/0 类型的不确定形式的其他方法（因式分解和消除、使用共轭、替换）。
S7。无限的极限和无穷大的极限
您将学习：定义和计算函数的无限极限和无穷大极限，以及这些概念如何与函数的垂直和水平渐近线相关；由于我们已经在第 5 节中学习了扩展实数的算术，因此这里不需要太多理论；我们将对涉及零和无穷大有理函数的不定形式的极限进行彻底分析。
S8。连续性和不连续性
您将学到： 连续扩展和可移除间断的示例；分段函数及其连续性或不连续性。
S9。连续函数的性质
您将学习：连续函数的基本性质：有界定理、最大最小定理、中间值定理；您将学习这些定理的表述和含义，以及它们的证明（书面文本和插图）及其应用示例；我们将重温初级微积分系列中的一些旧示例，在这些示例中，我们在没有真正以正式方式了解它们的情况下使用了这些属性（但很好地依赖于我们的直觉，这在初级微积分级别上并没有那么糟糕）；均匀连续性；借助开集来表征连续性。
S10。启动绘图功能
您将学习：如何开始绘制一个实变量的实值函数的过程：确定域及其累积点，确定不包含在域中的域累积点周围函数的行为，确定其中的不连续点和单边极限，确定渐近线。我们将在“微积分 1，第 2 部分（共 2 部分：导数及其应用）”中继续研究该主题。
S11。附加功能
您将了解： 我们提供的所有课程。您还将了解我们未来课程的计划，以及大致（非常假设！）的发布日期。
请务必与教授核实期末考试需要课程的哪些部分。不同国家、不同大学的情况各不相同，甚至同一所大学每年的情况也会有所不同。
资源文件中提供了课程内容的详细描述，包括所有 225 个视频及其标题，以及本课程解决的所有 491 个问题的文本
“001 List_of_all_Videos_and_Problems_Calculus_1_p1.pdf”
视频 1（“课程简介”）下。此内容也在视频 1 中介绍。
本课程适合谁：
- 想要学习单变量微积分（或实分析）的大学生
- 对大学数学充满好奇的高中生；该课程供成人为这些学生购买
