初等数学 2：多项式和有理函数
从高中到大学的数学
讲师：Hania Uscka-Wehlou
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你会学到什么
- 如何解决有关多项式或有理函数的问题（以 160 个已解决的问题为例）以及这些方法为何有效。
- 多项式的定义和基本术语：变量、系数、次数；对具有有理指数的幂和主要幂规则的简短重复。
- 多项式的算术运算（加法、减法、乘法）；多项式环 R[x]。
- 完成求解二次方程和绘制抛物线的平方；二次公式的推导。
- 多项式除法：商和余数；除法的三种方法：因式分解被除法、长除法、待定系数。
- Vieta 的二次和三次多项式公式；二项式定理（证明将在微积分 4 中给出）作为 Vieta 公式的特例。
- 具有许多应用的剩余定理和因子定理；给出了基于除法定理（在一篇文章中证明）的证明。
- Ruffini-Horner Scheme for division by monic binomial of one degree，有很多应用例子；给出了方法的推导。
- 分解多项式，它在求解多项式方程和不等式中的应用，以及它对微积分的重要性。
- 作为函数的多项式：它们的定义域、范围、零点、单调性区间和图形（只是粗略的草图）。
- 多项式接近零和两个无穷大的行为，以及为什么理解这些主题（泰勒多项式）很重要；无限中的极限。
- 有理函数：它们的定义、定义域、零点（y 截距）、单调区间、渐近线（无限极限）和图形（只是粗略的草图）。
- 因式分解多项式在求解*有理*方程和不等式中的应用，及其对微积分的重要性。
- 部分分数分解及其对积分的重要性；一些简单的集成示例。
- 多项式的导数和反导数是多项式；衍生品的简要介绍。
- 有理函数的导数是有理函数；反导数还可以涉及反正切 (arctan) 和对数。
要求
- 高中数学，主要是算术
- Precalculus 1：基本概念（主要是函数的概念及相关概念；集合；逻辑）
- 您将在本课程（第 4 节）中对*线性方程组*进行非常简短的介绍，足以满足我们应用的需要（不确定系数的方法，例如部分分数分解）
- 您将在本课程（第 5 节）中对*复数*进行非常简短的介绍，足以满足我们应用程序的需求（分解多项式）
- 随时欢迎您提出问题。如果讲座中的内容不清楚，请询问。最好用QA，这样其他同学都能看到我对不明白的题目的补充说明。请记住：您永远不会孤军奋战，在论坛上提问对每个人都有好处。
描述
初等数学 2：多项式和有理函数
从高中到大学的数学
第 1 章：多项式
S1。课程简介
您将了解到： 关于这门课程：它的内容和最佳的学习方式。
S2。带有大图和一些剧透的一般介绍
您将了解到：为什么多项式很重要，为什么它们很可爱；您还将获得有关多项式和有理函数的一些一般信息，这将帮助您围绕课程主题建立一些重要的直觉。
S3。幂、表达式和多项式
您将学习： 关于具有自然指数、整数指数和有理指数的幂以及适用于它们的计算规则（乘法规则、商规则、幂规则）；有关多项式的基本术语（项、次数、单项式、二项式、三项式、一元多项式）；多项式算术（加法、减法、缩放、乘法），多项式的组合。
S4。线性方程和方程组
您将学习：如何求解n × n线性方程组，以及为什么您需要它来处理多项式和有理函数。
S5。二阶多项式
您将学习： 通过使用合格的因式分解猜测、完成平方和二次公式来求解二次方程；通过找到顶点的坐标并将抛物线 y=x^2 和 y=ax^2 转换为该顶点来绘制抛物线；Vieta 的公式及其证明和一些应用。
S6. 分解多项式与查找多项式的零点相同
您将学习：多项式整除；多项式除法，各种方法：长除法（两种不同的符号），借助未定系数进行除法，Ruffini-Horner Scheme 用于除以一元二项式；代数基本定理的后果；Vieta 的公式；寻找具有整数系数的多项式的有理零点的方法；Cauchy 的零点边界。
S7. 分解多项式：学校与现实
您将了解到：现实不如学校美好。
S8. 多项式方程和不等式
您将学习： 通过对多项式进行因式分解和分析符号（借助表格或草图）来求解多项式方程和不等式；您还将获得对解决方案集的几何理解（以图形方式）。本节省略了多项式因式分解，因为这是上一节的主题，但在学校你将不得不分解多项式以求解多项式方程和不等式。
S9. 间奏曲：微积分的一些主题
您将学习：函数是连续的以及多项式是连续函数是什么意思；导数的概念；计算多项式的导数；为什么多项式的曲线在多项式的多个零点与x轴相交时是圆的；无限中的极限和无限的极限。
S10. 绘制（草图）多项式
您将学习：如何绘制多项式函数的图形：如何确定定义域、范围、x和y截距、单调性区间（增加、减少）和局部极值（最大值、最小值）。
S11。关于多项式的更高级的未来主题
您将学习：在哪些其他领域您将享受所获得的有关多项式的知识；我不会教你这些主题，我只会给你一些关于在哪里可以找到它们的信息。
第 2 章：有理函数
S12. 有理函数及其域
您将学习：有理函数的定义；如何确定它们的域、零点和y轴截距。
S13. 有理方程和不等式
您将学习：加、减、乘、除有理表达式；求解有理方程和不等式，理解有理方程和多项式方程与不等式之间的联系。
S14. 渐近线
您将学习：水平和垂直渐近线（凭直觉；这些概念会在微积分课上回归）。
S15. 绘制（草图）有理函数
您将学习： 使用y =1/ x和y =1/( x ^2+1)的图形变换绘制一些简单的有理函数图；了解与多项式除法和多项式/有理方程和不等式的联系。
S16. 部分分数分解
您将学习：如何执行有理函数的部分分数分解。
S17. 关于有理函数的更高级的未来主题
您将学习： 关于接近零和无穷大的多项式的重要项：在零（如泰勒近似）和无穷大（用于绘制有理函数图、寻找渐近线等）中计算有理函数的不定极限之间的巨大差异); 部分分数分解对于整合有理函数的重要性。我不会教你这些东西，我只会为你准备一些未来的话题，并激发你为什么要学习有理函数。
S18. 关于幂函数和代数函数的一些话
您将学习：幂函数和代数函数的定义和示例。
S19. 附加功能
您将了解：关于我们提供的所有课程，以及在哪里可以找到折扣券。您还将了解我们未来课程的计划，以及大致的（非常假设的！）发布日期。
请务必与您的教授核实您的期末考试需要课程的哪些部分。这些事情因国家而异，因大学而异，甚至同一所大学每年都不同。
资源文件中提供了课程内容的详细描述，包括所有 211 个视频及其标题，以及本课程中解决的所有 160 个问题的文本
“001 List_of_all_Videos_and_Problems_Precalculus_2.pdf”
在视频 1（“课程简介”）下。此内容也显示在视频 1 中。
本课程适合谁：
- 计划学习代数、微积分或实分析的学生
- 对大学数学充满好奇的高中生；该课程供成人为这些学生购买
- 每个想要复习高中数学并对这门学科有更深入了解的人
- 正在学习高级课程的大学生，他们想要了解他们在早期教育中可能错过的所有细节（关于多项式或有理函数）
- 想要学习多项式的学生，例如他们的大学代数课。
