初等微积分 3：三角学
从高中到大学的数学
讲师：Hania Uscka-Wehlou，Martin Wehlou
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你将会学到的
- 如何在几何和函数上下文中解决三角学问题（以 215 个已解决的问题为例），以及这些方法为何有效。
- 您将获得欧几里德几何的速成课程：角、三角形、多边形、相似三角形（比例）、内接圆和外接圆、平分线等。
- 数 pi：其定义为圆盘的周长与直径之比，与圆盘面积的关系，一些几何近似值。
- 三个三角函数（sin、cos、tan）及其倒数（正割、余割、余切）的几何定义（通过直角三角形中的比率）。
- 15、18、30、36、45、60、72、75 和 22.5 度角的三角函数的精确值：几何推导，并借助公式。
- 在三角学的帮助下解决三角形（求边长和所有角度的度量，了解其中的一些），直角和斜角。
- 度数与弧度：如何使用比例重新计算弧度和后退的度数；参考角度。
- 正弦、余弦、正切函数定义，借助单位圆和圆周运动；这些函数的属性。
- 使用坐标系中的单位圆定义*任何*实数的三角（循环）函数（sin、cos、tan）。
- 参考角定理及其证明（通过几何图示）和应用；补充身份和补充角属性。
- 周期性函数。正弦曲线：周期、振幅、相移、垂直偏移。三角函数图的变换。
- 勾股定理和勾股三元组。余弦定律、正弦定律：公式、证明和在解决问题中的应用。
- 各种三角恒等式及其证明、几何插图和解决问题的应用。
- 毕达哥拉斯恒等式；互惠身份；商恒等式；偶数/奇数身份。
- 正弦和余弦的和差恒等式，包括证明、几何插图和应用。
- Sum To Product 和 Product To Sum 正弦和余弦的公式，以及推导和应用。
- 双（半）角恒等式，带有几何插图、证明和在解决问题中的应用。
- 正弦、余弦和正切的反函数，它们的定义、属性和图形。
- 三角函数与反三角函数的组合；涉及反三角函数的恒等式。
- 复数及其三角（极）形式；sin 和 cos 的求和恒等式对于极坐标形式的复数乘法的结果。
- De Moivre 公式（复数的正自然幂）及其在快速重现角度倍数的正弦和余弦公式中的应用。
- 三角方程：各种类型及相应的求解方法；在图形和单位圆上描绘解集。
- 在以后的微积分课程中，您可以先睹为快三角学（那里如何使用一些三角函数公式）。
- 你会得到大量的几何插图，支持你对三角学的直觉和理解。
显示更少
要求
- 高中数学，主要是算术；求解具有一个未知数的简单方程（线性和二次）；一些（但很少）多项式方程将在课程中解决，但如果你想跳过它们（完全没有问题；它不会影响你对三角学的理解）
- Precalculus 1：基本概念（主要是函数的概念及相关概念；集合；逻辑）
- 在本课程中，您将对*复数*进行非常简短的介绍，足以展示三角学的一个应用，并很好地说明求和的正弦和余弦公式
- 一些基本的几何图形（角、三角形、多边形）；本课程第2部分提供速成班（6小时）（如果你觉得自己掌握了几何基础知识可以跳过）
- 随时欢迎您提出问题。如果讲座中的内容不清楚，请询问。最好用QA，这样其他同学都能看到我对不明白的题目的补充说明。请记住：您永远不会孤军奋战，在论坛上提问对每个人都有好处。
说明
初等微积分 3：三角学
从高中到大学的数学
一、课程简介
您将学习：本课程中等待您学习的内容，以及您将要学习的内容。
2. 欧氏几何速成班
您将学习：为了适应本课程的新内容，您需要了解的有关几何的一切知识：几何概念，例如直线、直线段、角、三角形（锐角、直角、钝角）、多边形、圆（内接、外接）、三角形同余规则（SSS、SAS、ASA）、相似三角形、泰雷兹定理、毕达哥拉斯定理、直角三角形同余规则（HA、HL、LL）、测量角度、测量距离、计算正方形面积和三角形，平面中的等距（对称、旋转、平移）。
3.14159……伟大的数字π
您将了解： 关于数字 π：它对圆和圆盘的意义，以及一些基本（几何）近似方法。
4. 锐角的三角函数：几何方法
您将学习：六个三角函数的几何定义，为什么有六个，以及我们如何知道它们被很好地定义为（锐）角的函数；这些功能之间的第一个（非常基本的）关系。
5.计算三角函数的精确值
您将学习：如何使用几何方法导出角度的三角函数的精确值：15、18、30、36、45、54、60、72、75 和 22.5 度；我们还将仅使用几何推导出一些对锐角有效的三角函数公式（但稍后，在课程的后半部分，您将了解到所有这些公式都只对任何角度都有效，因此它们确实值得学习） ; 然后，这些公式将用于计算某些角度的三角函数值（知道其他一些角度的值）。我们将逐步创建锐角的正弦和余弦函数图。
6. 反三角函数介绍和求解三角形
您将学习：锐角的反三角函数（反正弦、反余弦和反正切）的几何意义，以及如何在简单的问题解决中使用它们（更高级的三角形问题解决将在课程后面介绍）。
7. 从度数到弧度：为什么以及如何
您将学习：弧度的定义；如何使用比例计算弧度和弧度；以弧度表示的最常见角度的值；笛卡尔坐标系中的角度。
8.任意角的三角（圆）函数：单位圆与圆周运动
您将学习： 将三角函数正弦和余弦（在第 3 节中以几何方式定义，对于锐角，在几何上定义）扩展到任何角度（或者，实际上，扩展到任何实数）的两种方法：
[1] 静态的：cos t = x, sin t = y，其中(x,y)是单位圆与t弧度角的末端边的交点坐标，在标准位置（显然函数 R -> R 因为每个点都恰好有一对笛卡尔坐标），
[2] 动态的：一点从点(1,0)开始沿单位圆移动，t = 0，并继续逆时针方向移动，直到从起点到该点的路径长度为圆上的点是吨; 该点的坐标定义余弦和正弦函数如下：x = cost t 和 y = sin t（显然是函数 R -> R，因为每个点都恰好有一对笛卡尔坐标）。
为了构造这些函数，我们将数轴包裹在单位圆上，这是一个非常酷的操作。
9、六个三角（圆）函数的基本性质；作图
您将学习： 借助正弦和余弦定义的其他循环函数（正切和三个倒数）的定义；紧接着单位圆的定义和对称性的基本性质：所有这些函数的定义域和范围，参考角恒等式，区间的单调性，偶数或奇数，周期性（一个新概念，未在初等微积分 1 中引入），图表；这些函数之间的基本关系：毕达哥拉斯恒等式、余函数恒等式。您还将学习名称正弦、正切和正割的词源。
10. 三角恒等式；图变换
您将了解到：对于那些害怕在第 5 部分浪费时间的人来说，好消息是：在那里所做的一切都将在这里重用！唯一必须重做的主题是正弦和余弦的恒等式的推导，因为第 5 节中所做的推导是几何的并且仅限于锐角。其余公式（倍角公式、幂折公式、半角公式、正切半角公式、三倍角公式）均经过公式运算证明，在新情况下也有效。两组新的公式（和乘积，以及乘积和求和公式）。Sum Identities 将用于图形转换，这也将在本节中讨论。将介绍与正弦波相关的术语（周期、相位、幅度）。
11. 反三角函数、它们的性质和图形
您将学习：关于反三角函数的反正弦、反余弦和反正切（它们的倒数的倒数可以从《初等微积分》一书中学习：第 824-833 页；这在我们的课程中没有涉及）、它们的属性、图形和一些具有三角（圆形）函数的有趣组合。
12.更多身份
您将学习：如何证明三角恒等式。
13.三角方程
您将学习：如何求解一些基本类型的三角方程，如何编写一系列解，以及如何以图形方式解释方程及其解集。讨论了以下类型的方程（或：求解方程的方法）：
[a] 三角方程的最基本类型：sin x = a, cos x = a, tan x = a,
[b] 对正弦和余弦使用和或差恒等式，
[c] 因式分解：求和求积公式，
[d] 多项式分解，
[e] 使用乘积求和公式，
[f] 减少三角函数的次数，
[g] Universal Substitution 求解方法：半角正切，
[h]齐次方程，
[i] 上述方法的组合。
14.三角函数的一些应用
您将了解到：包括应用程序会使本课程的内容增加一倍，因此我将只专注于最常见的应用程序。这些讲座不会像前几节中的讲座那样详细，但到目前为止，您可能已经能够自己阅读和理解《初等微积分》一书的第 11 章，所以请阅读并在需要时问我问题。我将在本节中讨论以下主题：
[a] 坐标系中直线的斜率，
[b] 余弦定律作为勾股定理的推广，
[c] 基于正弦的三角形面积公式，
[d] 正弦定律，
[e] 苍鹭公式；求解斜三角形，
[f] 平面（或 3 空间）中的向量和它们之间的角度，
[g] 旋转及其矩阵，
[h] 复数：矩形和极坐标形式，
[i] 复数的乘法以及其几何形状如何由正弦和余弦的恒等式确定的解释，
[j] de Moivre 的复数幂公式，
[k] 团结的根源。
15. 偷看微积分中的三角函数
您将学习： 本节将为您提供一些关于三角函数在微积分中的应用的指导。目的不是教你这些东西，而是让你了解在本课程中获得的技能将如何帮助你在未来的微积分课程中学习。这里提到的主题是：
[a] (sin x)/x 为零的极限及其在微积分中的重要性，
[b] 直线的斜率及其对微积分的重要性，
[c] 正弦和余弦的可微性：使用哪些公式，
[d] 导数（包括正弦、余弦、正切、反正弦和反正切的示例）及其在寻找极值和确定单调性区间中的作用，
[e] 类函数（C^0、C^1、C^2、…）和一些有趣的三角函数示例，
[f] 关于傅里叶和呼吸描记器、欧拉公式和欧拉恒等式的一句话，
[g]微分方程解中的三角函数，
[h] 平面中的极坐标，
[i] 圆柱坐标和球坐标，
[j] 参数曲线，
[k] 功率降低公式和积分，
[l] 积分中的三角函数代换。
16.解题：varia
您将了解到： 本节为您提供了一系列需要解决的问题；难度级别各不相同，并且由于问题与特定部分无关，因此您必须自己决定选择哪种方法。总的来说，前面几节的习题和习题都是基础水平的（有一些小的例外），而这一节的习题难度更大一些。本来，我打算给每个问题分配基本、中等或困难的徽章，但转念一想：“你不能解决的每个问题都是困难的；你能解决的每个问题（对你来说）都很简单。” 所以我改变了主意，问题只是呈现给你，没有任何标签。
17. 临时演员
您将了解：关于我们提供的所有课程，以及在哪里可以找到折扣券。您还将了解我们未来课程的计划，以及大致的（非常假设的！）发布日期。
另外，请确保您与您的教授核实您的期末考试需要课程的哪些部分。这些事情因国家而异，因大学而异，甚至同一所大学每年都不同。
资源文件“List_of_all_Videos_and_Problems_Precalculus_3.pdf”中视频 1 下的资源文件“List_of_all_Videos_and_Problems_Precalculus_3.pdf”（“简介”课程”）。此内容也显示在视频 1 中。
此课程面向哪些人：
- 计划学习代数、复数、微积分或实分析的学生
- 对大学数学充满好奇的高中生；该课程供成人为这些学生购买
- 每个想要复习高中数学并对这门学科有更深入了解的人
- 学习高级课程的大学生，他们想要了解他们在早期教育中可能错过的所有细节（关于三角函数）
- 想要学习三角函数的学生，例如他们的大学代数课。
